Justifique a propriedade seguinte de duas maneiras, a primeira através de sua contra positiva e a segunda por redução ao absurdo: “Se m é um inteiro tal que m 3 + 2 é ímpar, então m é impar”.

Passo 1

Fala minha galera, bora extrair o máximo dos nossos pensamentos com esse exercício de algelin!

Vamos justificar a afirmação de duas maneiras, primeiro de forma contra positiva, isto é, proposições do tipo s e   p ,   e n t ã o   q ⇒ s e   ~ p ,   e n t ã o   ~ q , e depois por absurdo, contradição.

A contra positiva é

s e   m   é   u m   i n t e i r o   t a l   q u e   m 3 + 2   é   p a r ,   e n t ã o   m   é   p a r

Essa proposição é verdadeira pois o produto entre dois números pares é par, assim com a soma. A contra positiva é verdadeira, então a proposição também é.

Passo 2

Por absurdo temos que considerar m par, isto é, m = 2k com k ∈ Z ; vamos substituir na equação então.

m 3 + 2 k = 2 k 3 + 2

8 k 3 + 2 = 2 4 k 3 + 1

Como todo número par é divisível por dois, então m 3 + 2 é par. Mas peraí... m 3 + 2   não é ímpar?! Logo está justificado por absurdo que m deve ser ímpar.

Resposta

Demonstração