Para k = 1,2 , … , 5 , encontre o número n k de subconjuntos linearmente independentes constituídos de k colunas de cada uma das matrizes dadas

a) A = 1 1 0 2 3 1 2 0 2 5 1 3 0 2 7

b) B = 1 2 1 0 2 1 2 3 0 4 1 1 5 0 6

Passo 1

E aeeee, vem aqui que eu te explico direitinho o que tem que fazer:

Vamos começar com k = 1 e aí vamos ver: quantos conjuntos linearmente independentes conseguimos formar usando 1 coluna da matriz?

Aí para k = 2 : quantos conjuntos LI conseguimos formar usando 2 colunas da matriz

E por aí vai até k = 5 , beleza?

Vamos lá

Passo 2

a) Temos

A = 1 1 0 2 3 1 2 0 2 5 1 3 0 2 7

Para k = 1 , podemos formar n 1 = 4 colunas LI

Só não podemos formar 5 porque uma das colunas é nula hehehe

Para k = 2 , podemos formar:

1,1 , 1 , 1,2 , 3

1,1 , 1 , 3,5 , 7

1,2 , 3 , 2,2 , 2

1,2 , 3 , 3,5 , 7

2,2 , 2 , 3,5 , 7

n 2 = 5 conjuntos linearmente independentes

Para k = 3,4 , 5 , nenhum dos conjuntos formados é linearmente independente, então

n 3 = n 4 = n 5 = 0

Passo 3

b) Temos

B = 1 2 1 0 2 1 2 3 0 4 1 1 5 0 6

Para k = 1 , vamos ter 4 conjuntos diferentes que sejam LI (só a coluna nula que não pode, pra esse caso)

Para k = 2 , temos

1,1 , 1 , 2,2 , 1

1,1 , 1 , 1,3 , 5

1,1 , 1 , 2,4 , 6

2,2 , 1 , 1,3 , 5

2,2 , 1 , 2,4 , 6

1,3 , 5 , 2,4 , 6

Então, n 2 = 6 conjuntos LI

Para k = 3 , temos 3 formas de formarmos conjuntos LI, usando 3 colunas, então n 3 = 3

Para k = 4,5 , não temos nenhuma forma de fazer um conjunto LI, então n 4 = n 5 = 0

E fimmm

Resposta

a) n 1 = 4 ,   n 2 = 5 ,   n 3 = n 4 = n 5 = 0

b) n 1 = 4 ,   n 2 = 6 ,   n 3 = 3 ,   n 4 = n 5 = 0