Os lados do paralelogramo foram divididos, cada um, em partes iguais. Escreva R P → em função de A B → = b → e A D → = a → .

Passo 1

Galerinha, nessa questão o raciocínio é muito parecido com o da questão anterior. Vamos começar notando que

R P → = α R T →

S P → = β S Q →

Agora, temos que tentar obter R P → por outro caminho:

R P → = R A → + A S → + S P → = - A R → + A S → + β S Q →

Os dois caminhos devem ser equivalentes. Assim,

R P → = - A R → + A S → + β S Q → = α R T →

Passo 2

Tudo tranquilo? Então, a próxima coisa a fazer é determinar R T → , S Q → , A R → , A S → em termos A B → = b → e A D → = a → . Como os lados do paralelogramo foram divididos, cada um, em partes iguais, então

A R → = 1 3 A D → = 1 3 a →

A S → = 1 2 A B → = 1 2 b →

Os demais vetores são obtidos por soma vetorial:

R T → = R A → + A B → + B T → = - A R → + A B → + B T →

S Q → = S A → + A D → + D Q → = - A S → + A D → + D Q →

Como no paralelogramo os lados opostos são iguais, então

C B → = - B C → = - A D → = - a →

B T → = 2 3 B C → = 2 3 A D → = 2 3 a →

D Q → = 1 4 D C → = 1 4 A B → = 1 4 b →

Assim, ficamos com

R T → = - 1 3 A D → + A B → + 2 3 B C → = - 1 3 a → + b → + 2 3 a → = 1 3 a → + b →

S Q → = - A S → + A D → + D Q → = - 1 2 b → + a → + 1 4 b → = - 1 4 b → + a →

Passo 3

Agora nós podemos aplicar os resultados do passo anterior na equação

- A R → + A S → + β S Q → = α R T →

⇒ - 1 3 a → + 1 2 b → + β ( - 1 4 b → + a → ) = α ( 1 3 a → + b → )

⇒ ( β - 1 3 α - 1 3 ) a → = ( α + 1 4 β - 1 2 ) b →

Como a → , b → são l.i., então ambos os lados da equação devem ser nulos:

β - 1 3 α - 1 3 = 0

α + 1 4 β - 1 2 = 0

Multiplicando a primeira equação por 3 e somando com a segunda, obtemos

3 β - 1 + 1 4 β - 1 2 = 0 ⇒ 13 4 β = 3 2 ⇒ β = 3 2 4 13 = 6 13

Substituindo β = 6 13 na segunda equação

α + 1 4 β - 1 2 = 0 ⇒ α + 1 4 6 13 - 1 2 = 0

⇒ α + 3 2 ⋅ 13 - 1 2 = 0 ⇒ α = 1 2 ( 1 - 3 13 ) = 1 2 ( 13 - 3 13 ) = 5 13

⇒ α = 5 13

Agora vamos voltar na primeira expressão que obtivemos para R P → e substituir α = 5 13 e R T → = 1 3 a → + b → :

R P → = α R T → = 5 13 ( 1 3 a → + b → ) = 5 39 a → + 5 13 b →

Resposta

R P → = 5 39 a → + 5 13 b →