Let S : R p →   R n and T : R n   →   R m be linear transformations. Show that the mapping x ⟼   T ( S ( x ) ) is a linear transformation (from R n   →   R m ). [Hint: Compute T ( S ( c u + d v ) ) for u; v in R p and scalars c and d. Justify each step of the computation, and explain why this computation gives the desired conclusion.]

Passo 1

Beleza pessoal, todos prontos para estudar mais um pouco hoje? Espero que sim, hoje iremos resolver mais uma questão de Álgebra Linear, então subam a bordo e vamos nessa!!

Assumindo que

S   :   R P →   R n   e   T   :   R n   →   R m são transformações lineares

Nosso objetivo é mostrar que a função x ↦ T S x é uma transformação linear de R p   p a r a   R m .

Passo 2

Tome u e v em R p e sejam c e d escalares. Então:

T S c u + d v = T c ∙ S u + d ∙ S v p o r q u e S é l i n e a r .

  =   c   ∙   T ( S ( ( u ) )   +   d ∙ T ( S ( v ) )   p o i s   T   é   l i n e a r .

Resposta

x   ↦   T ( S ( x ) ) é linear.