Let T   ;   R n → R n be an invertible linear transformation. Explain why T is both one-to-one and onto R n . Use equations (1) and (2). Then give a second explanation using one or more theorems.

Passo 1

Beleza pessoa, espero que todos estejam bem e super dispostos a resolver mais uma atividade de Álgebra Linear.

Hoje teremos uma questão mais teórica do que pratica para resolvermos, então todos cuidados para não queimar os neurônios e vamos nessa.

Seja T :   R n   →   R n   uma transformação linear invertível. Precisamos explicar por que T é tanto sobrejetora quanto injetora para R n .

Passo 2

Como T é uma transformação linear invertível se existe uma função S: R n   →   R n de tal modo que

S ( T ( x ) )   =   x   p a r a   t o d o   x   e m   R n

T ( S ( x ) )   =   x   p a r a   t o d o   x   e m   R n

Seja u e v qualquer vetor em R n suponha que T ( u )   =   T ( v ) , nós precisamos mostrar que u = v.

T u = T v

S T u = S T v

Por isso, T é injetora.

Desde T   : R n   →   R n é uma transformação linear invertível, então do Teorema 8, T é uma matriz invertível e a transformação linear x   →   T x mapeia R n   →   R n

Resposta

Portanto, T é injetora e sobre R m .