Let be an invertible linear transformation. Explain why T is both one-to-one and onto . Use equations (1) and (2). Then give a second explanation using one or more theorems.
Passo 1
Beleza pessoa, espero que todos estejam bem e super dispostos a resolver mais uma atividade de Álgebra Linear.
Hoje teremos uma questão mais teórica do que pratica para resolvermos, então todos cuidados para não queimar os neurônios e vamos nessa.
Seja uma transformação linear invertível. Precisamos explicar por que T é tanto sobrejetora quanto injetora para .
Passo 2
Como T é uma transformação linear invertível se existe uma função S: de tal modo que
Seja u e v qualquer vetor em suponha que , nós precisamos mostrar que u = v.
Por isso, T é injetora.
Desde T é uma transformação linear invertível, então do Teorema 8, T é uma matriz invertível e a transformação linear mapeia
Resposta
Portanto, T é injetora e sobre .