Let T   :   R n →   R n be an invertible linear transformation, and let S and U be functions from R n   into R n such that S (T(x)) = x and U (T(X)) = x for all x in R n . Show that U ( v )   = S ( v )   for all v in R n . This will show that T has a unique inverse, as asserted in Theorem 9. [Hint: Given any v in R n , we can write v = T(x) for some x. Why? Compute S(v) and U(v).]

Passo 1

Beleza pessoa, espero que todos estejam bem e super dispostos a resolver mais uma atividade de Álgebra Linear.

Hoje teremos uma questão mais teórica do que pratica para resolvermos, então todos cuidados para não queimar os neurônios e vamos nessa.

Agora sejam S e U quaisquer duas funções de R n para R tais que para qualquer x em R n , temos S ( t ( x ) )   =   x e U ( T ( x ) )   =   x .

Passo 2

Seja v algum vetor arbitrário em R n . Do painel 1, sabemos que existe pelo menos um vetor u em R n tal T ( u )   =   v . Então

U ( v )   =   U ( T ( u ) )   =   u   =   S ( T ( u ) )   =   S ( v )

Como v era apenas um vetor arbitrário em R n , isso mostra que U ( x )   =   S ( x ) para cada x em R n , conforme necessário.

Resposta

U ( x )   =   S ( v )   para todo v nos R n .