Let T: R n →   R n be a linear transformation, with A its standard matrix. Complete the following statement to make it true: “T is one-to-one if and only if A has ____ pivot columns.” Explain why the statement is true. [Hint: Look in the exercises for Section 1.7.]

Passo 1

Beleza pessoal, espero que estejam todos dispostos hoje a aprender mais um pouco de Álgebra Linear, pegue seu lápis e seu café que vamos começar.

Assumindo que T: R n →   R m é uma transformação linear com A como matriz padrão.

Nos é dado a seguinte declaração

T associa R n → R m se e apenas se A tem ____ colunas pivô.

Passo 2

A declaração se torna verdadeira com a adição de m, ficando

T é injetora se e somente se A tem m colunas pivô

A afirmação é verdadeira porque se A tem m colunas pivô, então as colunas de A sempre irão pertencer a R m

Resposta

T é injetora se e somente se A tem m colunas pivô