Let T be a linear transformation that maps R n   o n t o   R n . Show that T - 1 exists and maps R n onto R n . Is T - 1 also one-to-one?

Passo 1

Beleza pessoa, espero que todos estejam bem e super dispostos a resolver mais uma atividade de Álgebra Linear.

Hoje teremos uma questão mais teórica para resolvermos, então todos cuidados para não queimar os neurônios e vamos nessa.

Seja T uma transformação linear de R n para R n . Precisamos mostrar que T - 1 existe e mapear R n para R n .

Passo 2

Seja A matriz padrão de T. Do Teorema 12, seção 1.9, as colunas da matriz padrão A de T são linearmente independentes, então A é matriz invertível. Do Teorema 8, se A é uma matriz invertível então a transformação linear x → t x mapeia R n   e m   R n . Do Teorema 0, T é invertível se e somente se A é uma matriz invertível e

S x = A - 1 x

onde S é o inverso de T.

portanto, T - 1 existe e A - 1 é a matriz padrão para T - 1 .

Como T é uma matriz invertível então ( T - 1 ) - 1   =   T também é uma matriz invertível e do Teorema 8, a transformação linear   x → T - 1 x   é injetora e x → T - 1 x mapeia R n   e m   R n .

Resposta

A transformação linear T - 1 mapeia R n   e m   R n .