Let T be a linear transformation that maps . Show that exists and maps onto . Is also one-to-one?
Passo 1
Beleza pessoa, espero que todos estejam bem e super dispostos a resolver mais uma atividade de Álgebra Linear.
Hoje teremos uma questão mais teórica para resolvermos, então todos cuidados para não queimar os neurônios e vamos nessa.
Seja T uma transformação linear de para . Precisamos mostrar que existe e mapear para .
Passo 2
Seja A matriz padrão de T. Do Teorema 12, seção 1.9, as colunas da matriz padrão A de T são linearmente independentes, então A é matriz invertível. Do Teorema 8, se A é uma matriz invertível então a transformação linear mapeia . Do Teorema 0, T é invertível se e somente se A é uma matriz invertível e
onde S é o inverso de T.
portanto, existe e é a matriz padrão para .
Como T é uma matriz invertível então também é uma matriz invertível e do Teorema 8, a transformação linearé injetora e mapeia
Resposta
A transformação linearmapeia