If a linear transformation T   :   R n →   R m maps   R n →   R m , can you give a relation between m and n? If T is one-to-one, what can you say about m and n?

Passo 1

Beleza pessoal, todos prontos para estudar mais um pouco hoje? Espero que sim, hoje iremos resolver mais uma questão de Álgebra Linear, então subam a bordo e vamos nessa!!

Assumindo que T   :   R n →   R m   l e v a   d e     R n a t é   R m

Nossos objetivos são:

  1. Dar uma relação entre m e n
  2. Se T é injetora, o que podemos dizer sobre m e n?

Passo 2

Se T   :   R n →   R m   l e v a   d e     R n a t é   R m , então temos que a matriz padrão de A tem colunas pivôs em cada linha. Então A deve ter pelo menos tantas colunas quanto linhas. Em outras palavras, m n.

Quando T é injetora, A deve possuir um pivô em cada coluna então m   ≥   n .

Resposta

Resolução no desenvolvimento acima.