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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo Exercícios Adicionais.3 - Ex. 63

A B C D é um losango (quadrilátero com quatro lados congruentes, diagonais perpendiculares que se cortam ao meio). M é o ponto médio das diagonais. A M →   = ( 3,0 , 2 ) e B M → = ( x , 2,3 ) . Calcule x e os ângulos internos do losango.

Passo 1

Fala, pessoal! Antes de começar, vamos esclarecer que quadrilátero com quatro lados congruentes quer dizer quadrilátero com quatro lados de mesmo tamanho, ok? Assim, nós temos

| A B → | = | B C → | = | C D → | = | D A → |

Como no losango as diagonais são perpendiculares, então, devemos ter

A M → ⋅ B M →   = 0 ⇒ ( 3,0 , 2 ) ⋅ ( x , 2,3 ) = 0 ⇒ 3 x + 6 = 0 ⇒ x = - 2

Passo 2

Vamos tentar obter dois vetores adjacentes, ou seja, que saem do mesmo vértice, e calcular o ângulo entre eles. Vamos começar com A B → e A D → :

A B → = A M → + M B → = A M → - B M → = ( 3,0 , 2 ) - ( - 2,2 , 3 ) = ( 5 , - 2 , - 1 )

A D → = A M → + M D → = A M → + B M → = ( 3,0 , 2 ) + ( - 2,2 , 3 ) = ( 1,2 , 5 )

Assim,

A B → ⋅ A D → = ( 5 , - 2 , - 1 ) ⋅ ( 1,2 , 5 ) = 5 - 4 - 5 = - 4

| A B → | = | A D → | = 25 + 4 + 1 = 30

Então, o ângulo entre os dois vetores será dado por

c o s   A = A B → ⋅ A D → | A B → | | A D | → = - 4 ( 30 ) 2 = - 4 30 = - 2 15

O próximo ângulo é entre os vetores B A → e B C → . Mas B C → = A D → , pois são paralelos. Então

c o s   B = B A → ⋅ B C → | B A → | | B C | → = ( - A B ) → ⋅ A D → | A B → | | A D | → = - A B → ⋅ A D → | A B → | | A D | → = - ( - 2 15 )   =   2 15

Resposta

x = - 2

c o s   A = - 2 15

c o s   B = 2 15