A luz é absorvida em hastes e cones na retina do olho. O número de fótons absorvidos por um fotorreceptor durante um lampejo é regido pela distribuição de Poisson. Mais precisamente, a probabilidade p n de um fotorreceptor absorver exatamente n fótons é dada por p n = e - λ λ n / n ! para λ > 0 .

(a) Mostre que ∑ n = 0 ∞ p n = 1 .

(b) A visão que ocorre usualmente quando dois ou mais fótons são absorvidos pelo fotorreceptor. Mostre que a probabilidade desta ocorrência é 1 - e - λ ( λ + 1 ) .

Passo 1

Eaee, belezaa??? Para resolvermos está questão vamos usar algumas interpretações e manipulações algébricas. Mas, rapidinho vamos terminar ela. Bora lá!!

Passo 2

Para a primeira parte da questão, temos que provar o seguinte.

∑ n = 0 ∞ p n = 1

Substituindo p n no somatório.

∑ n = 0 ∞ e - λ λ n n !  

e - λ ∑ n = 0 ∞ λ n n !  

Pela relação que o enunciado nos deu, quando λ > 0 .

e - λ e λ = 1

Aplicando λ = 0 .

e 0 = 1

1 = 1

Passo 3

Quando dois fótons são absorvidos pelo receptor, a expressão que representa é a probabilidade é:

P = ∑ n = 0 ∞ p n - ( p 1 + p 0 )

P = 1 - e - λ λ 1 1 ! + e - λ λ 0 0 !

P = 1 - ( λ e - λ + e - λ )

P = 1 - e - λ ( λ + 1 )

Aqui está a fórmula da probabilidade da ocorrência!!

Resposta

Resolução nos passos anteriores.