Passo 1

Essa aqui a gente vai resolver relembrando uma definição bem teórica, saca só, percebe que a equação do subespaço dada tem termo de primeira e segunda derivada? Portanto, uma definição que aborda essa mesma estratégia é o Wronskiano que diz que se tivermos três funções f,g,h podemos provar que são linearmente dependentes, ou seja, teremos:

a f + b g + c h = 0

Também é possível reescrevemos a equação derivando, logo:

a f^' + b g^' + c h^' = 0 e a f ' ' + b g ' ' + c h ' ' = 0

Passo 2

Beleza, mas qual é a ideia de obter essas equações? Bom, de acordo com Wronkiano, temos que organizar em uma forma matricial e descobrir se de fato os termos são zerados para termos a linearidade dependente. Assim, fazemos o seguinte:

[f g h f ' g ' h ' f ' ' g ' ' h ' '] [a b c] = [0 0 0]

Organizamos melhor para fazermos determinante

[f g h f ' g ' h ' f ' ' g ' ' h ' ' f f ' f ' ' g g ' ' g ' ']

Temos:

f g^' h^(' ') + g h^' f^(' ') + h f^' g^(' ') - h g^' f^(' ') - f h^' g^(' ') - g f^' h ' '

Para de fato obtermos um determinante, consideramos f’’ = -f , g’’ = -g e h’’ = -h, temos:

- f g^' h - g h^' f - h f^' g + h g^' f + f h^' g + g f^' h = 0

Com isso, entendemos que as três equações que geraram aquele subespaço devem ser linearmente dependentes de solução não-trivial.

Passo 3

Tranquilo, agora olharemos as funções de g(x) = sen (x) e h(x) = cos (x) de olho nós sabemos que são linearmente independentes, pois nenhuma delas é múltipla da outra em um dado intervalo. Portanto, g(x) e h(x) devem ser a base do subespaço.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)