Passo 1
Essa aqui a gente vai resolver relembrando uma definição bem teórica, saca só, percebe que a equação do subespaço dada tem termo de primeira e segunda derivada? Portanto, uma definição que aborda essa mesma estratégia é o Wronskiano que diz que se tivermos três funções f,g,h podemos provar que são linearmente dependentes, ou seja, teremos:
Também é possível reescrevemos a equação derivando, logo:
Passo 2
Beleza, mas qual é a ideia de obter essas equações? Bom, de acordo com Wronkiano, temos que organizar em uma forma matricial e descobrir se de fato os termos são zerados para termos a linearidade dependente. Assim, fazemos o seguinte:
Organizamos melhor para fazermos determinante
Temos:
Para de fato obtermos um determinante, consideramos f’’ = -f , g’’ = -g e h’’ = -h, temos:
Com isso, entendemos que as três equações que geraram aquele subespaço devem ser linearmente dependentes de solução não-trivial.
Passo 3
Tranquilo, agora olharemos as funções de g(x) = sen (x) e h(x) = cos (x) de olho nós sabemos que são linearmente independentes, pois nenhuma delas é múltipla da outra em um dado intervalo. Portanto, g(x) e h(x) devem ser a base do subespaço.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)