Passo 1

Olhando a primeira vez, essa questão parece complicada, é? Mas nós vamos resolvê-la de um jeito bem facinho.

O primeiro passo é entender como identificar que uma transformação linear precisa satisfazer duas condições:

  1. T(u+v) = T(u) + T(v)
  2. T(k.u) = k.T(u)

Assim, sempre que as igualdades forem verdadeiras, a função será uma transformação linear.

Passo 2

  1. T (x , y) = ( x + 2 y , x y )
  2. Para verificarmos se a propriedade 1) vale, vamos resolver da seguinte forma:

    I ) T (x_1 + x_2 , y_1 + y_2) = T (x_1 , y_1) + T (x_2 , y_2) I I )

    Desenvolvendo o lado I) :

    T (x_1 + x_2 , y_1 + y_2) -> ( (x_1 + x_2 + 2 (y_1 + y_2) , (x_1 + x_2) * (y_1 + y_2))

    Desenvolvendo o lado II) :

    T (x_1 , y_1) + T (x_2 , y_2) -> (x_1 + 2 y_1 , x_1 * y_1) + (x_2 + 2 y_2 , x_2 * y_2)

    Se organizarmos os termos do lado I) e do lado II) é perceptível que I) = II), portanto a condição é satisfeita. Agora basta verificar se a condição 2) também é satisfeita:

    I I I ) T (k x , k y) = k T (x , y) I V )

    Desenvolvendo o lado III) :

    T (k x , k y) -> ( k x + k 2 y , k (x y) )

    Desenvolvendo o lado IV) :

    k T (x , y) -> k ( x + 2 y , x y )

    De cara já percebemos que a igualdade III) = IV) é válida, logo, satisfeitas as condições 1) e 2) temos que a transformação é linear.

    Passo 3

  3. T (x , y) = ( x + 2 y , 0 )
  4. Para verificarmos se a propriedade 1) vale, vamos resolver da seguinte forma:

    I ) T (x_1 + 0 , y_1 + 0) = T (x_1 , y_1) + T (0 , 0) I I )

    Desenvolvendo o lado I) :

    T (x_1 + 0 , y_1 + 0) -> (( x_1 + 2 (y_1) , 0)

    Desenvolvendo o lado II) :

    T (x_1 , y_1) + T (0 , 0) -> (x_1 + 2 y_1) + ( 0 )

    Se organizarmos os termos do lado I) e do lado II) é perceptível que I) = II), portanto a condição é satisfeita. Agora basta verificar se a condição 2) também é satisfeita:

    I I I ) T (k x , k y) = k T (x , y) I V )

    Desenvolvendo o lado III) :

    T (k x , k y) -> ( k x + k 2 y , k (0) )

    Desenvolvendo o lado IV) :

    k T (x , y) -> k ( x + 2 y , 0 )

    De cara já percebemos que a igualdade III) = IV) é válida, logo, satisfeitas as condições 1) e 2) temos que a transformação é linear.

    Passo 4

  5. T (x , y) = ( x^2 + 2 y , y )

De cara nós já percebemos que não é uma transformação linear pelo fato de ter um expoente maior que 1, mas como provar? Fácil,aplicarmos a mesma estratégia utilizada na letra a) e b), mas dessa vez vamos aplicar valores, se ( x_1 , x_2 ) = ( 1 , 0 ) e ( y_1 , y_2 ) = ( - 1 , 0 )

Para verificarmos se a propriedade 1) vale, vamos resolver da seguinte forma:

I ) T (x_1 + x_2 , y_1 + y_2) = T (x_1 , y_1) + T (x_2 , y_2) I I )

Desenvolvendo o lado I) :

T (x_1 + x_2 , y_1 + y_2) -> (( 1 + ( - 1 ) )^2 + 2 (0 + 0) , (0 + 0)) = ( 0,0 )

Desenvolvendo o lado II) :

T (x_1 , y_1) + T (x_2 , y_2) -> (1^2 + 2 ( 0 ) , 0) + (( - 1 )^2 + 2 ( 0 ) , ( 0 )) = ( 2 , 0 )

Se organizarmos os termos do lado I) e do lado II) é perceptível que I) ≠ II), portanto a condição NÃO é satisfeita. Portanto temos um transformação não linear:

Resposta

  1. Transformação linear ;
  2. Transformação linear ;
  3. Transformação não linear.