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Passo 1
Olhando a primeira vez, essa questão parece complicada, é? Mas nós vamos resolvê-la de um jeito bem facinho.
O primeiro passo é entender como identificar que uma transformação linear precisa satisfazer duas condições:
- T(u+v) = T(u) + T(v)
- T(k.u) = k.T(u)
Assim, sempre que as igualdades forem verdadeiras, a função será uma transformação linear.
Passo 2
Para verificarmos se a propriedade 1) vale, vamos resolver da seguinte forma:
Desenvolvendo o lado I) :
Desenvolvendo o lado II) :
Se organizarmos os termos do lado I) e do lado II) é perceptível que I) = II), portanto a condição é satisfeita. Agora basta verificar se a condição 2) também é satisfeita:
Desenvolvendo o lado III) :
Desenvolvendo o lado IV) :
De cara já percebemos que a igualdade III) = IV) é válida, logo, satisfeitas as condições 1) e 2) temos que a transformação é linear.
Passo 3
Para verificarmos se a propriedade 1) vale, vamos resolver da seguinte forma:
Desenvolvendo o lado I) :
Desenvolvendo o lado II) :
Se organizarmos os termos do lado I) e do lado II) é perceptível que I) = II), portanto a condição é satisfeita. Agora basta verificar se a condição 2) também é satisfeita:
Desenvolvendo o lado III) :
Desenvolvendo o lado IV) :
De cara já percebemos que a igualdade III) = IV) é válida, logo, satisfeitas as condições 1) e 2) temos que a transformação é linear.
Passo 4
De cara nós já percebemos que não é uma transformação linear pelo fato de ter um expoente maior que 1, mas como provar? Fácil,aplicarmos a mesma estratégia utilizada na letra a) e b), mas dessa vez vamos aplicar valores, se ( e (
Para verificarmos se a propriedade 1) vale, vamos resolver da seguinte forma:
Desenvolvendo o lado I) :
Desenvolvendo o lado II) :
Se organizarmos os termos do lado I) e do lado II) é perceptível que I) ≠ II), portanto a condição NÃO é satisfeita. Portanto temos um transformação não linear:
Resposta
- Transformação linear ;
- Transformação linear ;
- Transformação não linear.