Passo 1

Se liga nessa questão, o próprio comando nos diz para encontrarmos o núcleo e a imagem SEM fazermos contas, como??

  1. Bom, a letra a) pede uma projeção ortogonal, ou seja, o núcleo que é a mesma coisa que um plano perpendicular gerado pelo vetor (2,1,1), ou seja, temos o núcleo: 2 x + y + z = 0 , com imagem da reta de (2,1,1)
  2. Passo 2

  3. Dado que estamos considerando uma transformação linear, podemos considerar um vetor v qualquer coincidente ao eixo (-2,1,2), ele é imagem de w (tome w a rotação por 11 graus)Logo a imagem é em todo R^3 . Por outro lado, o único vetor que após ser rotacionado vai na origem é a própria origem. Logo o núcleo é o subespaço {0}
  4. Passo 3

  5. Na letra c) nós temos que a transformação linear está sendo refletida em torno do eixo x=0, ou seja, o núcleo é coincidente do eixo e, coincidentemente, possui o mesmo vetor, logo, é 0 e a imagem está contida em todo R^3 .
  6. Passo 4

  7. E para finalizarmos, há uma projeção ortogonal, ou seja, a transformação linear é uma reta projetada perpendicularmente ao plano, portanto seu núcleo também é correspondente, se x=0 → x (1,0,0) quando a imagem é x=0.

E prontinho, finalizamos! Bora mais uma questão?

Resposta

a ) 2 x + y + z = 0 ; (2,1 , 1) ;

b ) 0 ; R^3 ;

c ) 0 ; R^3

d ) (1,0 , 0) ; x = 0