Passo 1

Opa, vamos analisar essa questão!

a) Queremos a transformação T do plano que é uma reflexão em torno da reta x = - y , mas o que isso quer dizer? Então, uma reflexão em torno da reta é a transformação que reflete cada ponto em torno da reta como uma espécie de espelho, assim teremos um sistema de coordenadas ( x^' , y ' ) , onde:

x^' = a x + b y

y^' = c x + d y

E os pontos de coordenada que eram ( - x , - y ) agora são ( - y , - x ) . Portanto, para que (x^' , y^') = ( - y , - x ) , temos que a = 0 , b = - 1 , c = - 1 , d = 0

Logo: T (x , y) = ( - y , - x )

Passo 2

b) A forma mais fácil de fazermos a projeção ortogonal sobre o plano y=z é tomar os vetores de T ( x , y , z ) , assim:

T (1,0 , 0) = ( 1,0 , 0 )

T (0,1 , 0) = (0,1 , 1) (1)/(sqrt(1^2 + 1^2)) = (0,1 , 1) (1)/(sqrt(2)) ; se y=z

T (0,0 , 1) = (0,1 , 1) (1)/(sqrt(1^2 + 1^2)) = (0,1 , 1) (1)/(sqrt(2))

Portanto:

T (x , y , z) = (1,0 , 0) , (0,1 , 1) (1)/(sqrt(2)) , (0,1 , 1) (1)/(sqrt(2)) -> T (x , y , z) = (1)/(sqrt(2)) (x sqrt(2) , y + z , y + z)

Passo 3

Como é em torno do eixo z, T ( 0 , 0 , 1 ) = ( 0 , 0 , 1 ) (vetor no eixo z não é modicado). Se sabemos que a rotação tem ângulo 45°, para x e y temos que:

T (1,0 , 0) = (1,1 , 0) (1)/(sqrt(1^2 + 1^2)) = (1,1 , 0) (1)/(sqrt(2))

T (0,1 , 0) = (- 1,1 , 0) (1)/(sqrt(1^2 + 1^2)) = (- 1,1 , 0) (1)/(sqrt(2))

Portanto:

T (x , y , z) = (1,1 , 0) (1)/(sqrt(2)) , (- 1,1 , 0) (1)/(sqrt(2)) , ( 0 , 0 , 1 ) -> T (x , y , z) = (1)/(sqrt(2)) (x - y , x + y , z sqrt(2))

Resposta

a ) T (x , y) = ( - y , - x )

b ) T (x , y , z) = (1)/(sqrt(2)) (x sqrt(2) , y + z , y + z)

c ) T (x , y , z) = (1)/(sqrt(2)) (x - y , x + y , z sqrt(2))