Passo 1

Topa destruir essa questão?

a) Saca só, o primeiro passo é escrever T ( x , y , z ) como uma matriz e escalonar:

[1 - 1 0 - 1 0 - 1 - 1 1 0 1 0 1] -> (- 1 * R 3 -> R 3) = [1 - 1 0 - 1 0 - 1 1 - 1 0 1 0 1] -> (R 3 - 1 * R 1 -> R 3) = [1 - 1 0 - 1 0 - 1 0 0 0 1 0 1] -> (- 1 * R 2 -> R 2) = [1 - 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1] -> (R 4 - 1 * R 2 -> R 4) = [1 - 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0] -> (R 1 + 1 * R 2 -> R 1) [1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0]

Obtemos a matriz [1 0 0 1 1 1] , ou seja, são três variáveis (x,y,z) e duas equações.

O próximo passo é escrever as variáveis em função de uma variável (t) livre, se;

z = t ,

y = - t ,

x = - t

Logo (x , y , z) = (- t , - t , t) = t ( - 1 , - 1,1 ) , portanto, núcleo tem dimensão é 1 e a base é {( - 1 , - 1,1 )} .

Passo 2

Sobre as informações da imagem temos que montar a matriz com T (e_1) , ... , T (e_2) nas linhas da seguinte forma:

[1 - 1 0 0 - 1 - 1 - 1 1 0 0 1 1]

Escalonando parcialmente vamos obter a matriz:

[1 0 - 1 - 1 - 1 0 1 1]

Como temos 2 equações isso significa que a d i m (I m (T)) = 2 e a base é I m (T) = {(1,0 , - 1,0) , ( 0 , - 1,0 , 1 )}

Resposta

  1. N u c (T) = {( - 1 , - 1,1 )} ; d i m ( N u c (T) = 1 ; I m (T) = {(1,0 , - 1,0) , (0 , - 1,0 , 1)} ; d i m (I m (T)) = 2