Passo 1

Topa destruir essa questão?

b) Saca só, o primeiro passo é escrever T ( x , y , z ) como uma matriz e escalonar:

[1 - 1 0 2 0 1 0 2 1] -> (1 // 2 * R 2 -> R 2) = [1 - 1 0 1 0 1 // 2 0 2 1] -> (R 2 - 1 * R 1 -> R 2) = [1 - 1 0 0 1 1 // 2 0 2 1] -> (1 // 2 * R 3 -> R 3) = [1 - 1 0 0 1 1 // 2 0 1 1 // 2] -> (R 3 - 1 * R 2 -> R 3) = [1 - 1 0 0 1 1 // 2 0 0 0] -> (R 1 + 1 * R 2 -> R 1) = [1 0 1 // 2 0 1 1 // 2 0 0 0]

Obtemos a matriz [1 0 0 1 1 // 2 1 // 2] , ou seja, são três variáveis (x,y,z) e duas equações.

O próximo passo é escrever as variáveis em função de uma variável (t) livre, se;

z = t ,

y = - t // 2 ,

x = - t // 2

Logo (x , y , z) = (- (t)/(2) , - (t)/(2) , t) = t ( - (1)/(2) , - (1)/(2) , 1 ) , portanto, núcleo tem dimensão é 1 e a base é {( - (1)/(2) , - (1)/(2) , 1 )} .

Passo 2

Sobre as informações da imagem temos que montar a matriz com T (e_1) , ... , T (e_2) nas linhas da seguinte forma:

[1 2 0 - 1 0 2 0 1 1]

Escalonando parcialmente vamos obter a matriz:

[1 2 0 0 2 2]

Como temos 2 equações isso significa que a d i m (I m (T)) = 2 e a base é I m (T) = {(1 , 2 , 0) , ( 0 , 2 , 2 )}

Resposta

b) N u c (T) = {( - (1)/(2) , - (1)/(2) , 1 )} ; d i m ( N u c (T) = 1 ; I m (T) = {(1 , 2 , 0) , ( 0 , 2 , 2 )} ; d i m (I m (T)) = 2