Passo 1

Topa destruir essa questão?

c) Saca só, o primeiro passo é escrever L ( a , b , c , d , e ) como uma matriz e escalonar:

[1 0 3 0 0 1 1 0 4 0 - 1 - 1 - 1 1 0] -> (R 3 - 1 * R 1 -> R 3) = [1 0 3 0 0 1 0 0 1 0 - 1 - 1 - 1 1 1] -> (R 3 - 1 * R 2 -> R 3) = [1 0 3 0 0 1 0 0 0 0 - 1 0 - 1 1 0] -> (R 1 - 3 * R 2 -> R 1) = [1 0 0 0 0 1 0 0 0 3 - 1 0 - 4 1 0]

Obtemos a matriz [1 0 0 0 0 1 3 - 1 - 4 1] , ou seja, são cinco variáveis ( a , b , c , d , e ) e duas equações, logo 5-2 = 3 variáveis livres, sendo (b, d, e) livres e (a, c) dependentes.

O próximo passo é escrever as variáveis em função das variáveis livres, se;

b = r ,

d = s ,

e = t ,

a = - 3 d + 4 e = - s + t ,

c = d - e = s - t

Logo (a , b , c , d , e) = (- 3 s + 4 t , r , s - t , s , t) = r (0,1 , 0,0 , 0) + s (- 3,0 , 1,1 , 0) + t (4,0 , - 1,0 , 1) . Logo, o núcleo tem dimensão 3 e base {(0,1 , 0,0 , 0) , (- 3,0 , 1,1 , 0) , (4,0 , - 1,0 , 1)} .

Passo 2

Sobre as informações da imagem temos que montar a matriz com L (e_1) , ... , L (e_2) nas linhas da seguinte forma:

[0 0 3 1 0 4 0 - 1 - 1 1 - 1 0]

Escalonando parcialmente vamos obter a matriz:

[1 0 1 0 1 1]

Como temos 2 equações isso significa que a d i m d i m (I m (L)) = 2 e a base é I m (L) = {(1 , 0 , 1) , ( 0 , 1 , 1 )}

Resposta

c) N u c (L) = {(0,1 , 0,0 , 0) , (- 3,0 , 1,1 , 0) , (4,0 , - 1,0 , 1)} ; d i m ( N u c (L) = 3 ; I m (L) = {(1 , 0 , 1) , ( 0 , 1 , 1 )} ; d i m d i m (I m (L)) = 2