Passo 1

Partiu mais uma questão!

Se liga que o primeiro passo para obter a base é escalonar a matriz

[0 2 - 1 1 1 2 0 1 1 0 1 0] -> (R 1 harr R 2) = [2 0 - 1 1 2 1 0 1 0 1 1 0] -> (1 // 2 * R 1 -> R 1) = [1 0 - 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0] -> (- 1 * R 3 -> R 3) = [1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 - 1 0] -> (R 3 - 1 * R 1 -> R 3) = [1 0 0 1 1 1 - 1 1 0 1 - 1 0] -> (R 4 - 1 * R 1 -> R 4) = [1 0 0 0 1 1 - 1 0 0 1 - 1 0] -> (- 1 * R 3 -> R 3) = [1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0] -> (R 3 - 1 * R 2 -> R 3) = [1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0] -> (R 1 - 1 * R 2 -> R 1) = [1 0 0 0 0 1 0 0 - 1 1 0 0]

Depois disso basta escrever as variáveis em um sistema:

x - z = 0 ,

y + z = 0 .

Resolvendo temos que se z = t , y = - t , x = t , o núcleo é N u c (T) = ( 1 , - 1 , 1 ) com dimensão d i m (N u c (T)) = 1 .

Passo 2

O segundo passo é obter a imagem, para isso faremos o mesmo processo de escalonamento com a matriz transposta, desse modo:

[0 2 1 2 - 1 1 0 1 1 0 1 0] -> [1 0 0 2 1 0 - 1 1 0 0 0 0]

Portanto, a imagem é I m (T) = {(1 , 0 , 1 , 0) , ( 0 , 2 , - 1 , 1 )} e tem dimensão d i m (I m (T)) = 2

Resposta

c ) N u c (T) = (1 , - 1 , 1) ; d i m (N u c (T)) = 1 ; I m (T) = {(1 , 0 , 1 , 0) , ( 0 , 2 , - 1 , 1 )} ; d i m (I m (T)) = 2