Passo 1

Partiu mais uma questão!

Se liga que o primeiro passo para obter a base é escalonar a matriz

[1 0 - 1 - 1 - 1 1 0 - 1 0 0 1 1] -> (- 1 * R 2 -> R 2) = [1 0 - 1 1 1 - 1 0 - 1 0 - 0 1 1] -> (R 2 - 1 * R 1 -> R 2) = [1 0 - 1 0 1 1 0 - 1 0 - 0 1 1] -> (- 1 * R 3 -> R 3) = [1 0 - 1 0 1 0 0 1 0 - 0 1 - 1] -> (R 3 - 1 * R 2 -> R 3) = [1 0 - 1 0 1 0 0 0 0 - 0 1 0]

Depois disso basta escrever as variáveis em um sistema:

x - z = 0 ,

y + w = 0 .

Resolvendo temos que o núcleo é N u c (T) = {(1 , 0 , 1 , 0) , ( 0 , 1 , 0 1 )} com dimensão d i m (N u c (T)) = 2 .

Passo 2

O segundo passo é obter a imagem, para isso faremos o mesmo processo de escalonamento com a matriz transposta, desse modo:

[1 - 1 0 0 - 1 0 - 1 1 1 - 1 0 1] -> [1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0]

Portanto, a imagem é I m (T) = {(1 , 0 , 1) , ( 0 , 1 , 1 )} e tem dimensão d i m (I m (T)) = 2

Resposta

d ) N u c (T) = {(1 , 0 , 1 , 0) , ( 0 , 1 , 0 1 )} ; d i m (N u c (T)) = 2 ; I m (T) = {(1 , 0 , 1) , ( 0 , 1 , 1 )} ; d i m d i m (I m (T)) = 2