Passo 1

Opa, vamos destruir essa questão?

Confere só, essa questão nos informa os vetores da base do núcleo e outros vetores que geram a imagem, o primeiro passo consiste em escrevê-los na forma matricial:

N u c (T) = [1 0 0 0 1 0 0 0] e I m (T) = [1 1 2 2 2 4]

Desenvolvendo a matriz para sabermos sobre as soluções, temos que:

  • N u c (T) , o núcleo tem posto da matriz aumentada igual ao posto da matriz dos coeficientes e é igual ao número de incógnitas, portanto, o sistema é compatível e determinado (existe uma solução única, linearmente independente), assim, a dimensão do núcleo é d i m d i m (N u c (T)) = 2 ;
  • I m (T) tem posto da matriz aumentada é igual ao posto da matriz dos coeficientes, mas não é igual ao número de incógnitas, logo, o sistema é compatível e indeterminado (existem infinitas soluções, linearmente dependente), assim, para gerar o mesmo espaço basta um vetor, por isso a dimensão do núcleo é d i m d i m (I m (T)) = 1

Considerando que as dimensões são diferentes, isso viola o Teorema do Núcleo e da Imagem, assim, a transformação linear não é possível!!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)