Passo 1

Viu que a questão não precisa de cálculo e ficou feliz, mas aí lembrou que também não sabe argumentos geométricos??

Calma que a gente resolve junto de uma forma molezaaa!

a) a imagem de uma progressão ortogonal de uma reta r qualquer significa quais valores ela pode assumir, ou seja, a imagem é o vetor da própria reta, assim I m (P) = r .

b) Dado um vetor v qualquer, ele é imagem de w (tome w = R(v)). Logo a imagem é o R^2 . Por outro lado, o único vetor que é refletido na origem é a própria origem. Logo o núcleo é o subespaço {0}, assim, N u c (R) = 0

c) essa letra c) é uma pegadinha, afinal uma projeção ortogonal P também de uma projeção P tem como único valor possível e assume a própria projeção “P”.

d) uma das propriedade da reflexão é de que quando trata-se de duas consecutivas, podemos considerar a matriz identidade como valor, logo, R R = I .

e) se uma reta qualquer sofre reflexão e é projetada o valor é a própria projeção, logo, R P = P .

f) seguindo a mesma lógica da letra d), se uma reta r qualquer é projetada ortogonalmente e depois é refletida, o valor é a reflexão, uma vez que esses argumentos geométricos não são comutativos. Portanto P R = R .

g) essa questão é uma boa pegadinha, pois temos mais de uma resposta, olha só, o comando nos dá uma projeção ortogonal P^n e uma reflexão R^n , sendo n um subespaço qualquer 1 <= n , assim temos:

- a projeção P só pode assumir n=1, logo P^n = P ;

- já a reflexão R^n também só pode assumir n=1, mas nós temos outras situações, por exemplo, se tivermos uma reflexão de outra reflexão teríamos uma matriz identidade, portanto, há a possibilidade de refletir R outras 2k vezes, teríamos: R^(2 k) = I . Assim com, se tivéssemos mais uma reflexão “a mais”, isso não geraria uma matriz identidade e sim a própria reflexão, dessa forma: R^(2 k + 1) = R .

Resposta

a ) I m (P) = r ; b ) N u c (R) = 0 ; c ) P P = P ; d ) R R = I ; e ) R P = P ; f ) P R = R ; g ) P^n = P o u R^(2 k) = I o u R^(2 k + 1) = R .