A matriz abaixo está fatorada na forma M D M - 1 . Sem fazer contas, determine os autovalores da matriz e bases para cada um dos autoespaços.

3   1   - 2   - 2   0   4   0   0   2   = 1   2   - 1   1   0   2   1   1   0   2   0   0   0   2   0   0   0   1   - 2   - 1   4   2   1   - 3   1   1   - 2  

Passo 1

O primeiro passo pra destruir essa questãozinha é perceber qua a matriz está fatorada no modelo diagonalizável, ou seja, ela satisfaz a condição de que exista uma matriz inversível P e uma matriz diagonal D tal que A = P D P - 1 . Sendo assim, temos:

  • D é a matriz diagonal composta dos elementos na diagonal são os autovalores
  • M é a matriz composta dos autovetores
  • M - 1 é a inversa de P
  • Portanto, nossa tarefa aqui é encontrar esses termos malandrinhos!

    Passo 2

    Pronto, agora é só analisar as matrizes, olha só:

    M D M - 1 = 1   2   - 1   1   0   2   1   1   0   2   0   0   0   2   0   0   0   1   - 2   - 1   4   2   1   - 3   1   1   - 2  

    Então, os autovalores, conforme dito no passo 1, estão na matriz do meio, portanto, eles são

    λ = 2   e   λ = 1

    Passo 3

    Continuando a resolução, para determinarmos as bases para cada um desses autovalores, a gente já sabe que elas estão na primeira matriz P, portanto, são bases:

  • (-1,2,0) unidimensional quando λ = 1 ;
  • (1,1,1) e (2,0,1) bidimensional quando λ = 2 .

Resposta

(-1,2,0) para λ = 1 e (1,1,1) , (2,0,1) quando λ = 2