A matriz abaixo está fatorada na forma . Sem fazer contas, determine os autovalores da matriz e bases para cada um dos autoespaços.
Passo 1
O primeiro passo pra destruir essa questãozinha é perceber qua a matriz está fatorada no modelo diagonalizável, ou seja, ela satisfaz a condição de que exista uma matriz inversível P e uma matriz diagonal D tal que . Sendo assim, temos:
- D é a matriz diagonal composta dos elementos na diagonal são os autovalores
- M é a matriz composta dos autovetores
- é a inversa de P
- (-1,2,0) unidimensional quando ;
- (1,1,1) e (2,0,1) bidimensional quando .
Portanto, nossa tarefa aqui é encontrar esses termos malandrinhos!
Passo 2
Pronto, agora é só analisar as matrizes, olha só:
Então, os autovalores, conforme dito no passo 1, estão na matriz do meio, portanto, eles são
Passo 3
Continuando a resolução, para determinarmos as bases para cada um desses autovalores, a gente já sabe que elas estão na primeira matriz P, portanto, são bases:
Resposta
(-1,2,0) para e (1,1,1) , (2,0,1) quando