Enunciado

A matriz

tem a propriedade que A² = O. É possível para uma matriz simétrica 2 X 2 ter essa propriedade? Prove sua resposta.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

‎Não, não é possível para um não-zero simétrico ‎‎‎2×2‎ matrizes para ter essa propriedade. Vamos provar isso.‎

‎Considere uma matriz simétrica‎

A   =   a b b c

‎de tal forma que‎ A 2 = 0

Passo 2

Nós temos que

A 2 = a b b c a b b c = a 2 + b 2 a b + b c a b + c b b 2 + c 2

Assim a 2 + b 2 = 0 , a b   +   b c   =   0 e b 2 + c 2 = 0

a 2 + b 2 = 0 dado a   =   b   = 0 e b 2 + c 2 = 0 dado que b   =   c   =   0 .

A   =   0 0 0 0

‎e, em seguida, o único ‎‎‎2×2‎ matriz simétrica de tal forma que A 2 = 0   é   0

Resposta

Resposta nos passos.