Enunciado

Qual é o menor número inteiro positivo que tem 15 divisores?

Sugestão: Se a = p 1 α 1 p 2 α 2 … p m α m é a decomposição do número procurado em fatores primos, então 15   =   ( α 1   +   1 ) ( α 2   +   1 ) . . . ( α m   +   1 ) . Observe que só há duas maneira (salvo quanto à ordem) de decompor 15 em fatores inteiros positivos.

Passo 1

Fala minha galera, bora extrair o máximo dos nossos pensamentos com esse exercício de algelin!

Vamos fatorar o 15 e abrir em números não primos para deixar no formato da nossa querida sugestão!

15 = 3 ⋅ 5

15 = 2 + 1 ⋅ 4 + 1

Então a forma de a é:

a = p 1 2 ⋅ p 2 4

Como ele quer o menor inteiro, então devemos pegar os menores primos para encontrar nosso a, isto é, os números 2 e 3:

a = 3 2 ⋅ 2 4   o u   a = 2 2 ⋅ 3 4

a = 144   o u   a = 324

Como 144 é menor que 324, então 144 é o menor inteiro positivo com 15 divisores.

Resposta

144