Enunciado

Mostrar que os dois conjuntos abaixo formados de funções contínuas reais definidas em R geram o mesmo subespaço vetorial de C R :

{ s e n 2 t , cos 2 ⁡ t ,   s e n t . c o s t } e { 1 ,   s e n   2 t , cos ⁡ 2 t }

Passo 1

Vamos lá! Para começar precisamos usar algumas relações trigonométricas:

s e n 2 t = 2 s e n t c o s ⁡ ( t ) cos ⁡ 2 t = cos 2 ⁡ t - s e n 2 ( t ) cos 2 ⁡ t + s e n 2 t = 1

Assim, temos que

1 ,   s e n   2 t , cos ⁡ 2 t   ⊆     [ s e n 2 t , cos 2 ⁡ t ,   s e n t . c o s t ]

Passo 2

Vamos usar mais algumas relações trigonométricas agora, belezinha?

cos 2 ⁡ t = 1 + c o s ⁡ ( t ) 2 s e n 2 t = 1 - c o s ⁡ ( t ) 2   s e n 2 t = 2 s e n t c o s ⁡ ( t )

Assim, vamos ter que

[ s e n 2 t , cos 2 ⁡ t ,   s e n t . c o s t ] ⊆ 1 ,   s e n   2 t , cos ⁡ 2 t

Logo,

1 ,   s e n   2 t , cos ⁡ 2 t = [ s e n 2 t , cos 2 ⁡ t ,   s e n t . c o s t ]

Show de bola?

Portanto, os dois conjuntos formados de funções contínuas reais definidas em R geram o mesmo subespaço vetorial de C R .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Quais dos conjuntos abaixo são sub-espaços do espaço P ( R ) de todos os polinômios reais? W = f t ∈ P Rf tt e mg r a um a i o rq u e2 } W =f t f 0 = 2 f ( 1 ) } W = f t f t0 ,∀ t ∈ R } W = f t f t +
Mostrar que é subespaço de M n ( R ) o subconjunto formado pelas matrizes antissimétricas. Mostrar também que M n ( R ) é some direta dos subespaços das matrizes simétricas e das antissimétricas.
Sejam u e v dois vetores não nulos do R 2 . Se não existe nenhum t ∈ R tal que u = t v , mostrar que R 2 é soma direta dos subespaços [ u ] e [ v ] .
Sejam U , V e W subespaços vetoriais do mesmo espaço para os quis valem o seguinte: U ∩ V + W = V ∩ W = { 0 } Provar que se u + v + w = 0 , com u ∈ U , v ∈ Vew∈ W , então u = v = w = 0 .
Mostre que a união de subespaços vetoriais do mesmo espaço é também um subespaço se, e somente se, um dos subespaços dados está contido no outro.