Enunciado

Mostrar que o espaço vetorial R ∞ não é finitamente gerado.

Passo 1

Vamos lá! Vamos pensar assim: Tome o conjunto de vetores que gera o espaço  R n . Beleza?!

Se a gente quiser “estendê-lo” de forma que ele gere o R ∞  não vamos conseguir. Mas por que isso?

Existe aqui um problema de contagem onde a intuição falha: a sequência de coordenadas de cada vetor possui uma quantidade finita de números. (Você deve estar se perguntando “como assim?!”)

Vamos pensar: No caso do primeiro vetor ela começaria com um e o restante seria de zeros. Mas quando lidamos com infinito, quem é o último elemento? O último vetor gerador do espaço seria um vetor com a primeira coordenada nula, depois uma infinidade de zeros até que a última coordenada seria um. Sacou?

Mas não temos um modo de escrever essa sequência de vetores que geram o espaço  R ∞   explicitamente.

Vamos pensar de outra forma pra ver se fica mais claro?

No caso de uma sequência finita de vetores que geram um espaço, sabemos quem é o último, pois a ele corresponde a uma posição inteira na sequência. Mas no caso de uma sequência infinita, se um elemento é dito como o ocupante da última posição e ela é um número inteiro, sempre existirá uma posição seguinte.

Portanto, o espaço vetorial R ∞ não é finitamente gerado.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Mostrar que os números complexos 2 + 3 i e 1 - 2 i geram o espaço vetorial C sobre R .
Quais dos conjuntos abaixo são sub-espaços do espaço P ( R ) de todos os polinômios reais? W = f t ∈ P Rf tt e mg r a um a i o rq u e2 } W =f t f 0 = 2 f ( 1 ) } W = f t f t0 ,∀ t ∈ R } W = f t f t +
Mostrar que é subespaço de M n ( R ) o subconjunto formado pelas matrizes antissimétricas. Mostrar também que M n ( R ) é some direta dos subespaços das matrizes simétricas e das antissimétricas.
Sejam u e v dois vetores não nulos do R 2 . Se não existe nenhum t ∈ R tal que u = t v , mostrar que R 2 é soma direta dos subespaços [ u ] e [ v ] .
Sejam U , V e W subespaços vetoriais do mesmo espaço para os quis valem o seguinte: U ∩ V + W = V ∩ W = { 0 } Provar que se u + v + w = 0 , com u ∈ U , v ∈ Vew∈ W , então u = v = w = 0 .