Mostre que a → = ( 5 , a , 1 ) , b → = ( a , 4 , - 1 ) e c → = ( 2 a - 15,8 - 3 a , - 5 ) são sempre coplanares, independentemente do número real a . Expresse b → como combinação linear de a → e c → .

Passo 1

Vamos começar escrevendo b → como combinação linear de a → e c → :

b → = k a →   + l c →   ⇒ ( a , 4 , - 1 ) = k ( 5 , a , 1 ) + l ( 2 a - 15,8 - 3 a , - 5 )  

Gerando o seguinte sistema:

a   =   5 k   +   2 l a   - 15 l

4   =   k a   +   8 l   - 3 l a

  - 1   = k - 5 l   ⇒   k   =   5 l   - 1

Substituindo o resultado da terceira relação na primeira e na segunda relação:

a = 5 ⋅ ( 5 l - 1 ) + 2 l a - 15 l   ⇒ a = 25 l - 5 + 2 l a - 15 l ⇒ 5   = 10 l   + 2 l a     - a

e

4   = a ⋅ ( 5 l   - 1 )   +   8 l   - 3 l a   ⇒   4   = 5 l a   - a + 8 l   - 3 l a   ⇒ 4   =   8 l + 2 l a   - a  

O próximo passo é subtrair essas duas equações acima:

5   - 4 = 10 l - 8 l   + 2 l a - 2 l a     - a   +   a   ⇒   1   =   2 l     ⇒   l   =   1 2

Perceba que esse resultado foi obtido sem precisar do valor de a . Por fim, basta substituir l   =   1 2 e k   =   5 l   - 1   =   3 2 em b → = k a →   + l c →   . Vamos lá:

b → = 3 2 a →   + 1 2 c →   ,

onde o valor de a   não modifica os valores de l   =   1 2 e k = 3 2 .

Resposta

b → = 3 2 a →   + 1 2 c →   .