Mostre, através do critério de Eisenstein, que são irredutíveis sobre o corpo das frações de A os seguintes polinômios:

a) x 4 - 2 j x 3 + 1 + i x 2 + 1 - i ,   A = Z [ i ]

b) x 4 - 3 ,   A = Z [ i ]

c) x 3 - 3 x 2 + 6 x + 1 + - 2 ,     A = Z [ - 2 ]

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa questão do livro de álgebra moderna do Gerson Iezzi para mostrar através do critério de Eisenstein, que são irredutíveis sobre o corpo das frações de A os seguintes polinômios:

a) x 4 - 2 j x 3 + 1 + i x 2 + 1 - i ,   A = Z [ i ]

b) x 4 - 3 ,   A = Z [ i ]

c) x 3 - 3 x 2 + 6 x + 1 + - 2 ,     A = Z [ - 2 ]

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Então nesse exercício devemos a partir do critério de Eisenstein determinar os valores do polinômio sendo esse critério definido por,

f x = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + … + a n x n       ∈ A [ x ]

Ficando na letra (a) para

x 4 - 2 j x 3 + 1 + i x 2 + 1 - i ,   A = Z [ i ]

Tendo como fatoração valendo,

4 x 3 - 6 i x 2 + 2 + 2 i x + ( 1 - i )

Ficando,

2 ( 2 x 3 - 3 i x 2 + 1 + i x )

Já na letra (b) para,

x 4 - 3 ,   A = Z [ i ]

Realizando a fatoração temos,

x 4 = 3

Ficando,

4 x 3 - 3

E na letra ( c ) para,

x 3 - 3 x 2 + 6 x + 1 + - 2 ,     A = Z [ - 2 ]

Fatorando o polinômio temos,

3 x 2 - 6 x + 6

Ficando,

3 x 2 - 6 x + 6 2

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) 2 ( 2 x 3 - 3 i x 2 + 1 + i x )

b) 4 x 3 - 3

c) 3 x 2 - 6 x + 6 2