Mostre que o cone circular de equação

x ' 2 + y ' 2 = z ' 2

no sistema S , tem equação

x 2 + c o s 2 θ   y 2 + ( 2 s e n   2 θ ) y z - ( c o s   2 θ ) z 2 = 0

no sistema R .

Passo 1

E aí, pessoal! Vamos começar essa questãozinha considerando que a rotação ocorre em torno do eixo x , então as coordenadas em x não mudam de um sistema para o outro. Assim, x ' = x e os eixos y e z são rotacionados seguindo a matriz de rotação

y ' = c o s θ y + s e n   θ z

z ' = - s e n   θ y + c o s θ z

Como x , y , z   ∈ R , precisamos substituir x ' , y ' , z ' em x ' 2 + y ' 2 = z ' 2 . Vamos lá:

x 2 + ( c o s θ y + s e n   θ z ) 2 = ( - s e n   θ y + c o s θ z ) 2

⇒ x 2 + c o s 2 θ y 2 + s e n 2   θ z 2   + 2 c o s θ y ⋅ s e n   θ z = s e n 2   θ y 2 + c o s 2 θ z 2 - 2 s e n θ y ⋅ c o s θ z

⇒ x 2 + ( c o s 2 θ   -   s e n 2   θ ) y 2 - c o s 2 θ   -   s e n 2   θ ) z 2 + 4 c o s θ y ⋅ s e n   θ z = 0

Agora precisamos recordar um pouco de trigonometria. Vamos fazer isso no próximo passo.

Passo 2

Sabemos das relações trigonométricas as seguintes informações:

( 1 )   : c o s 2 θ + s e n 2 θ = 1

( 2 )   : s e n ( a + b ) = s e n   a ⋅ c o s b   +   c o s a ⋅ s e n   b

( 3 )   : c o s ( a + b ) = c o s   a ⋅ c o s b   -   s e n   a ⋅ s e n   b

Então, fazendo a = b em ( 3 )   e   ( 2 ) , temos:

( 2 )   : s e n ( 2 a ) = 2 s e n   a ⋅ c o s a  

( 3 )   : c o s ( 2 a ) = c o s 2   a - s e n 2 a

Prontinho, só substituir e ser feliz:

x 2 + ( c o s 2 θ   -   s e n 2   θ ) y 2 - ( c o s 2 θ   -   s e n 2   θ ) z 2 + 4 c o s θ y ⋅ s e n   θ z = 0

⇒ x 2 + ( c o s   2 θ ) y 2 - ( c o s   2 θ ) z 2 + ( 2 s e n   2 θ ) y z = 0

⇒ x 2 + ( c o s   2 θ ) y 2 + ( 2 s e n   2 θ ) y z - ( c o s   2 θ ) z 2 = 0

Resposta

Veja a resolução acima.