Mostre que o conjunto dos pontos P(x, y, z) tais que d(P, O) = 2d(P, A), onde O é a origem e A(0, 3, 0), é uma esfera. Determine o centro e o raio desta esfera.

Passo 1

Vamos calcular a distância entre P e O (d(P,O)):

Lembrando que a origem tem coordenadas (0,0,0).

Para calcular a distância entre dois pontos podemos usar a fórmula D = ( x 1 - x 2 ) 2 + ( y 1 - y 2 ) 2 + ( z 1 - z 2 ) 2

Então d(P,O) fica: d ( P , O ) = ( x - 0 ) 2 + ( y - 0 ) 2 + ( z - 0 ) 2 = x 2 + y 2 + z 2

Passo 2

Agora temos que encontrar o valor de 2d(P,A):

Usando a mesma fórmula do passo 1, temos:

2 d ( P , A ) = 2 ( x - 0 ) 2 + ( y - 3 ) 2 + ( z - 0 ) 2 = 2 x 2 + ( y - 3 ) 2 + z 2

Passo 3

Igualando d(P,O) e 2d(P,A):

x 2 + y 2 + z 2 = 2 x 2 + ( y - 3 ) 2 + z 2

Elevando os dois lados da equação ao quadrado:

x 2 + y 2 + z 2 = 2 2 ( x 2 + ( y - 3 ) 2 + z 2 )

x 2 + y 2 + z 2 = 4   ( x 2 + y 2 - 6 y + 9 + z 2 )

x 2 + y 2 + z 2 = 4 x 2 + 4 y 2 - 24 y + 36 + 4 z 2

0 = 3 x 2 + 3 y 2 - 24 y + 36 + 3 z 2

0 = x 2 + y 2 - 8 y + 12 + z 2

Completando quadrado:

0 = x 2 + ( y - 4 ) 2 - 4 + z 2

4 = x 2 + ( y - 4 ) 2 + z 2 (1)

Uma esfera de centro C ( x 0 , y 0 , z 0 )   e raio R pode ser descrita pela equação da forma R 2 = ( x - x 0 ) 2 + ( y - y 0 ) 2 + ( z - z 0 ) 2 . (2)

Comparando a equação (1) com a (2) vemos que 4 = x 2 + ( y - 4 ) 2 + z 2 é uma equação de esfera com centro C ( x 0 , y 0 , z 0 ) = ( 0,4 , 0 ) e R = 2 .

Ou seja, o conjunto dos pontos P(x, y, z) tais que d(P, O) = 2d(P, A), onde O é a origem e A(0, 3, 0), é uma esfera.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)