Mostre que se θ ≠ π 4 , então a cônica no plano tem equação

x 2 s e c   2 θ + ( y + t a n   2   θ ) 2 s e c 2   2 θ = 1

que é uma elipse se | θ | < π 4 e π 4 < | θ | ≤ π 2 .

Passo 1

Então, gente, vamos usar novamente o resultado do item ( c )

x 2 + c o s 2 θ   y 2 + ( 2   s e n   2 θ ) y = ( c o s   2 θ )

e multiplicar tudo por c o s 2 θ :

c o s   2 θ   x 2 + c o s 2 2 θ   y 2 + ( 2   s e n   2 θ   c o s 2 θ ) y = ( c o s 2   2 θ )

Agora, vamos completar quadrado somando s e n 2   2 θ em ambos os lados:

c o s   2 θ   x 2 + c o s 2 2 θ   y 2 + ( 2   s e n   2 θ   c o s 2 θ ) y + s e n 2   2 θ = ( c o s 2   2 θ ) + s e n 2   2 θ

⇒ c o s   2 θ   x 2 + ( c o s   2 θ   y + s e n   2 θ ) 2 = 1

⇒ c o s   2 θ   x 2 + c o s   2 θ ( y + s e n   2 θ c o s   2   θ ) 2 = 1

⇒ c o s   2 θ   x 2 + c o s   2 θ ( y + t a n 2 θ ) 2 = 1

O último detalhe é lembrar que c o s   2 θ = 1 s e c   2 θ . Assim,

x 2 s e c   2 θ + ( y + t a n   2   θ ) 2 s e c 2   2 θ = 1

E com isso, terminamos mais uma questão. Valeu pela companhia, nos vemos na próxima!

Resposta

Veja a resolução acima.