Mostre que a equação da reta em R 2 que passa por v 1   =   ( x 1 ,   y 1 , z 1 ) , v 2 =   ( x 2 ,   y 2 , z 2 ) e v 3 =   ( x 3 ,   y 3 , z 3 ) é dada por det ⁡ x y x 1 y 1 z 1 z 1 1 x 2 y 2 x 3 y 3 z 2 1 z 3 1 = 0 .

Passo 1

Faaala, galeraaa!

Primeiramente vamos subtrair L 1 das linhas L 2 e L 3 e L 4 , temos então:

det ⁡ x y x 1 - x y 1 - y z 1 z 1 - z 0 x 2 - x y 2 - y x 3 - x y 3 - y z 2 - z 0 z 3 - z 0 = 0

Passo 2

Considere v = ( x , y , z ) , temos então na matriz os vetores:

v 1 - v = x 1 , y 1 , z 1 - ( x , y , z )

v 2 - v = ( x 2 ,   y 2 , z 2 )   - ( x , y , z )

v 3 - v = ( x 3 ,   y 3 , z 3 ) - ( x , y , z )

Para que esse determinante seja 0 , os vetores v 1 - v , v 2 - v e v 3 - v devem ser colineares, ou seja, paralelos. Logo a equação da reta passa por v 1   =   x 1 , y 1 , z 1 e v 2 =   ( x 2 ,   y 2 , z 2 ) e v 3 = ( x 3 ,   y 3 , z 3 ) .

Até a próxima!

Resposta

Para que esse determinante seja 0 , os vetores v 1 - v , v 2 - v e v 3 - v devem ser colineares, ou seja, paralelos. Logo a equação da reta passa por   v 1   =   x 1 , y 1 , z 1 e v 2 =   ( x 2 ,   y 2 , z 2 ) e v 3 = ( x 3 ,   y 3 , z 3 ) .