Mostre que o gráfico de cada uma das equações seguintes reduz-se a um único ponto.

  1. x 2 + y 2 + z 2 - 2 x - 4 y + 2 z + 6 = 0 ;
  2. x 2 + 2 y 2 + 4 z 2 - 2 x y - 2 y z = 0 ;
  3. x 2 + y 2 + z 2 - x y - x - y + 1 = 0 .

Passo 1

Nesta questão ele pede para mostrarmos em cada opção que o gráfico reduz em um único ponto.

  1. x 2 + y 2 + z 2 - 2 x - 4 y + 2 z + 6 = 0 ;
  2. x 2 + 2 y 2 + 4 z 2 - 2 x y - 2 y z = 0 ;
  3. x 2 + y 2 + z 2 - x y - x - y + 1 = 0 .

Passo 2

Na letra (a) se fatorarmos a equação, vamos ter que

x 2 + y 2 + z 2 - 2 x - 4 y + 2 z + 6 = 0

x 2 - 2 x → x - 1 2 → x = 1

y 2 - 4 y → y - 2 2 → y = 2

z 2 + 2 z → z + 1 2 → z = - 1

( 1,2 , - 1 )

Na letra (b) se fatorarmos vamos ter que,

x 2 + 2 y 2 + 4 z 2 - 2 x y - 2 y z = 0

x 2 - 2 x y → x - y 2

2 y 2 - 2 y z → y - z 2

4 z 2 - 2 y z → 3 z 2

( 0,0 , 0 )

E por fim na letra ( c ) fatorando vamos ter que,

x 2 + y 2 + z 2 - x y - x - y + 1 = 0

x 2 - x y → ( x - y ) 2

( y 2 - y ) → x - 1 2

z 2 → 2 z 2

( 1,1 , 0 )

Resposta

  1. ( 1,2 , - 1 )
  2. ( 0,0 , 0 )
  3. ( 1,1 , 0 )