Responde Aí

Enunciado

Mostre que:

a)Os gráficos das funções definidas por

f x = b 1 + x 2 a 2   e   f x =   - b 1 + x 2 a 2

São ramos da hipérbole

b)Se y 0 = f x 0 , a equação da reta que contém ( x o , y o ) e cuja declividade é f ' ( x o ) é dada por

y o y b 2 - x o x a 2 = 1

Essa reta é chamada tangente à hipérbole

y 2 b 2 - x 2 a 2 = 1

No ponto ( x o , y o )

Passo 1

Para fazer o item a vamos aproveitar que as equações são “simétricas”:

f x = b 1 + x 2 a 2 = y , elevando ao quadrado:

y 2 = b 2 1 + x 2 a 2

y 2 b 2 - x 2 a 2 = 1

f x > 0 , p o i s   b > 0   e   r a i z   q u a d r a d a > 0

Basta fazer o mesmo processo para a outra equação, essa outra será o ramo negativo (abaixo do eixo x)

Passo 2

Para mostrar que essa equação da reta é a tangente no ponto dado, vamos usar o conceito de derivada, além disso, vamos usar que qualquer reta pode ser escrita da forma:

y = m x + h

Passo 3

r :           y o y b 2 - x o x a 2 = 1

H :           y 2 b 2 - x 2 a 2 = 1

Vamos derivar a equação da hipérbole em função de x:

d   y x 2 b 2 - x 2 a 2 d x = 0

- x a 2 + y y ' b 2 = 0

y ' = b 2 x y a 2 = b 2 a 2 x y

Substituindo os valores de x , y por x o , y o :

y ' = m = b 2 a 2   x 0 y 0  

Usando que:

y = m x + h

y o = x o b 2 a 2 x o y o + h

h = y o - x o b 2 a 2 x o y o

h = y o 2 a 2 a 2 y o - b 2 x o 2 a 2 y o

h = b 2 y o y o 2   b 2 - x o 2 a 2

Essa parte entre parênteses conhecemos, pois x o , y o   pertence à hipérbole.

h = b 2 y o

Voltando:

y = m x + h

y =   b 2 a 2   x 0 y 0   x + b 2 y o

a 2 y o y - b 2 x x 0 = a 2 b 2

y o y b 2 - x x o a 2 = 1

Resposta

Demonstração