Mostre que:
a)Os gráficos das funções definidas por
São ramos da hipérbole
b)Se a equação da reta que contém e cuja declividade é é dada por
Essa reta é chamada tangente à hipérbole
No ponto
Passo 1
Para fazer o item a vamos aproveitar que as equações são “simétricas”:
, elevando ao quadrado:
Basta fazer o mesmo processo para a outra equação, essa outra será o ramo negativo (abaixo do eixo x)
Passo 2
Para mostrar que essa equação da reta é a tangente no ponto dado, vamos usar o conceito de derivada, além disso, vamos usar que qualquer reta pode ser escrita da forma:
Passo 3
Vamos derivar a equação da hipérbole em função de x:
Substituindo os valores de por
Usando que:
Essa parte entre parênteses conhecemos, pois pertence à hipérbole.
Voltando:
Resposta
Demonstração