6. Mostre que uma hipérbole com os eixos contidos nos eixos coordenados é simétrica

  1. em relação aos eixos coordenados
  2. em relação à origem.

Passo 1

Fala, pessoal! Prontos para mais uma?

Vamos começar lembrando que a equação da hipérbole nos eixos coordenados tem a forma

± x 2 r 2 ∓ y 2 s 2 = 1 ,   r > 0 ,   s > 0

porque não sabemos qual é o eixo dos focos. Essa equação é válida para P = ( x , y ) . Vamos ver o que acontece para P ' = ( - x , y ) , que é o ponto simétrico em relação ao eixo O y :

± ( - x ) 2 r 2 ∓ y 2 s 2 = 1 ⇒ ± x 2 r 2 ∓ y 2 s 2 = 1

Como obtivemos uma equação da hipérbole, então esse ponto pertence à hipérbole, também.

Passo 2

Agora, vamos testar para o ponto P ' ' = ( x , - y ) , que é simétrico de P em relação a O x :

± x 2 r 2 ∓ ( - y ) 2 s 2 = 1 ⇒ ± x 2 r 2 ∓ y 2 s 2 = 1

Então P ' ' também pertence à hipérbole. Agora, para P ' ' ' = ( - x , - y ) que é o simétrico em relação à origem, temos

∓ ( - x ) 2 r 2 ∓ ( - y ) 2 s 2 = 1 ⇒ ± x 2 r 2 ∓ y 2 s 2 = 1

Ou seja, P ' ' ' = ( - x , - y ) também faz parte da origem. Resumindo, o que nós podemos concluir com essa questão é que uma hipérbole de eixos contidos nos eixos coordenados é um conjunto simétrico em relação a eles e simétrico em relação à origem.

Resposta

Veja a resolução acima.