Enunciado

a)Mostre que a matriz A = a b c d é invertível se, e somente se, a d - b c ≠ 0 e neste caso a inversa é dada por

A - 1 = 1 a d - b c d - b - c a

b)Mostre que se a d - b c ≠ 0 , então o sistema linear

a x + b y = g c x + d y = h

tem como solução

x = g d - b h a d - b c , y = a h - g c a d - b c

Passo 1

Oi, oi galerinha! Tudo beleza?

Para resolver essa questão precisamos chegar na fórmula para a matriz inversa, mas como fazer isso?

Vamos assumir que a inversa é dada por: A - 1 =   c 11 c 12 c 21 c 22

Agora, vamos aplicar: A - 1 A = I

c 11 c 12 c 21 c 22 ∙ a b c d =   1 0 0 1

a c 11 + c c 12 b c 11 + d c 12 a c 21 + c c 22 b c 21 + d c 22 = 1 0 0 1

Dessa forma, conseguimos formar o sistema abaixo:

a c 11 + c c 12 = 1 b c 11 + d c 12 = 0 a c 21 + c c 22 = 0 b c 21 + d c 22 = 1

Isolando c 11 na equação I, obtemos:

c 11 = 1 - c c 12 a

Substituindo na equação II, temos:

b 1 - c c 12 a + d c 12 = 0

b a - b c c 12 a + d c 12 = 0

b a + c 12 d - b c a = 0

b a + c 12 a d - b c a = 0

b a + c 12 a a d - b c = 0

b + c 12 a d - b c = 0

c 12 = - b a d - b c

Pronto, agora é só aplicar esse método aos demais elementos, fazendo isso obtemos os valores abaixo.

c 11 = d a d - b c c 12 = - b a d - b c c 21 = - c a d - b c c 22 = a a d - b c

Assim, substituindo na matriz, temos:

A - 1 =   d a d - b c - b a d - b c - c a d - b c a a d - b c

Da para perceber que os elementos possuem um termo em comum, o elemento a d - b c no denominador.

Agora, vamos retirar o termo em comum, deixando-o em evidência. Dessa forma, a matriz fica:

A - 1 = 1 a d - b c d - b - c a

Como o termo a d - b c está no denominador de uma fração, seu valor precisa ser diferente de zero, pois não existe divisões por zero.

Pronto, concluída a letra A. Partiu letra B!

Passo 2

Na letra b vamos utilizar o mesmo raciocínio, sendo que agora já temos o sistema.

b)

a x + b y = g c x + d y = h

Isolando x na equação I, temos:

x = g - b y a

Agora, substituindo na equação II

c g - b y a + d y = h

c g a - c b y a + d y = h

c g a + y d - c b a = h

c g a + y a d - c b a = h

c g a + y a a d - c b = h

Multiplicando ambos os lados da equação por a

c g + y a d - c b = a h

y = a h - c g a d - c b

Agora, para achar o valor de x vamos isolar y na equação II e substituí-lo na equação I.

y = h - c x d

a x + b h - c x d = g

a x + b h d - b c x d = g

b h d + x a - b c d = g

b h d + x a d - b c d = g

b h d + x d a d - b c = g

b h + x a d - b c = g d

x = g d - b h a d - c b

Esses valores para x e y só serão possíveis se a d - b c ≠ 0 , pois esse termo ocupa o denominador da fração. E como explicado na letra A, não se divide por zero.

Resposta

Resposta nos passos