Enunciado

Mostre que as matrizes dadas formam uma base de M_22 .

A = [[[3,6],[3,-,6]]] , B = [[[0,-,1],[-,1,0]]] , C = [[[0,-,8],[-,12,-,4]]] , D = [[[1,0],[-,1,2]]]

Passo 1

Vamos lá! Para um conjunto de matrizes ser base, ele precisa ser necessariamente linearmente independente.

Fazendo a combinação linear entre os vetores temos:

a * [[[3,6],[3,-,6]]] + b * [[[0,-,1],[-,1,0]]] + c * [[[0,-,8],[-,12,-,4]]] + d * [[[1,0],[-,1,2]]] = [[[0,0],[0,0]]]

Isso nos gera um sistema de equações, organizando termo a termo fica:

{[[3 a + d = 0],[6 a - b - 8 c = 0],[3 a - b - 12 c - d = 0],[- 6 a - 4 c + 2 d = 0]]) , a = - (d)/(3) = - (4 c)/(3) = - (3 b)/(25) = 0

Como nosso sistema só aceita a solução trivial ( 0 , 0 , 0 , 0 ) assim nosso sistema é L.I.

Passo 2

Agora precisamos conferir se nosso conjunto gera M_22 .

Para isso vamos testar se para uma matriz [[[k,l],[m,n]]] .

a * [[[3,6],[3,-,6]]] + b * [[[0,-,1],[-,1,0]]] + c * [[[0,-,8],[-,12,-,4]]] + d * [[[1,0],[-,1,2]]] = [[[k,l],[m,n]]]

{[[3 a + d = k],[6 a - b - 8 c = l],[3 a - b - 12 c - d = m],[- 6 a - 4 c + 2 d = n]])

a = (- k - l + m - 3 n)/(17)

b = (- 161 k - 42 l + 25 m - 75 n)/(17)

c = (46 k + 12 l - 12 m + 19 n)/(68)

d = (20 k + 3 l - 3 m + 9 n)/(17)

(- k - l + m - 3 n)/(17) * [[[3,6],[3,-,6]]] + (- 161 k - 42 l + 25 m - 75 n)/(17) * [[[0,-,1],[-,1,0]]]

+ (46 k + 12 l - 12 m + 19 n)/(68) * [[[0,-,8],[-,12,-,4]]] + (20 k + 3 l - 3 m + 9 n)/(17) * [[[1,0],[-,1,2]]] = [[[k,l],[m,n]]]

Assim temos que nosso conjunto de vetores gera todo o M_22 , logo nosso conjunto é base de M_22 .

Isso é tudo pessoal! Até a próxima!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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