Mostre que não são lineares as aplicações dadas

a) F : R 2 → R ² definida por F x , y = x 2 , y 2

b) F : R 3 → R 2 definida por F x , y , z = x + 1 , y + z

c) F : R 2 → R 2 definida por F x , y = x y , y

d) F : R 3 → R ² definida por F x , y , z = x , y + z

Passo 1

E aíí, gente

Primeiramente temos que lembrar as duas regras pra uma aplicação ser linear:

F u + v = F u + F v

F α u = α . F u

Então vamos provar que essas regras não são válidas pras aplicações dadas

Vamos lá!

Passo 2

a) F x , y = x 2 , y 2

Seja u = x , y e v = z , w

Temos que

F u + v = F x + z , y + w

F u + v = x + z 2 , y + w 2

F u + v = x 2 + 2 x z + z 2 , y 2 + 2 y w + w ²

Porém, se fizermos F u + F ( v ) , temos

F u + F v = x 2 , y 2 + z 2 , w 2

Ou seja, temos coisas diferentess

Então a aplicação não é linear

Passo 3

b) F x , y , z = x + 1 , y + z

Seja u = x , y , z e v = a , b , c

Temos

F u + v = F x + a , y + b , z + c

F u + v = x + a + 1 , y + b + z + c

Porém, fazendo F u + F ( v ) , temos

F u + F v = x + 1 , y + z + ( a + 1 , b + c )

F u + F v = x + 1 + a + 1 , y + z + b + c

Temos coisas diferentes, logo, não é linear

Passo 4

c) F x , y = x y , y

Seja u = x , y e v = a , b

Temos que

F u + v = F x + a , y + b

F u + v = x + a . y + b ,   y + b

Enquanto:

F u + F v = x y , y + ( a b , b )

Como são diferentes, a aplicação não é linear, ok?

Passo 5

d) F x , y , z = x , y + z

Seja u = x , y , z e v = a , b , c

Temos

F u + v = F x + a , y + b , z + c

F u + v = x + a , y + b + z + c

Enquanto isso:

F u + F v = x , y + z + a , b + c

Como não é a mesma coisa, não é linear 😉

Resposta

Demonstração