Mostre que se { v 1 ,   v 2 , … , v n } é LI, então qualquer subconjunto será LI também.

Passo 1

E aí, pessoal, beleza? Vamos a questão!!!

Dizemos que um conjunto de vetores { v 1 ,   … ,   v n } é LD, se existirem reais a 1 ,   … ,   a n , não todos nulos, tais que:

a 1 v 1 + … + a n v n = 0

Caso contrário, ou seja, se a única solução para a equação acima for a 1 = … = a n = 0 , dizemos que o sistema é LI

Sabendo disso, vamos para o exercício.

Passo 2

Seja { v 1 , … ,   v k } , com k ≤ n , um subconjunto. Supomos por absurdo que esse subconjunto é LD. Sendo assim, existem reais a 1 , … ,   a k , não todos nulos, tais que:

a 1 v 1 + … + a k v k = 0

Disso, segue que:

a 1 v 1 + … + a k v k + 0 v k + 1 + … + 0 v n = 0

Onde os coeficientes de v i não são todos nulos. Mas isso é uma contradição, pois { v 1 ,   … ,   v n } é um conjunto LI. Dessa forma, provamos por absurdo que qualquer subconjunto de { v 1 ,   … ,   v n } será LI.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)