Mostre que:

(b) [0 1 0 0 0 1 0 0 0] é nilpotente. Qual valor de k?

Passo 1

Não lembra o que é essa tal de matriz nilpotente?? Sem problemas, a gente que uma matriz quadrada N é nilpotente de ordem k se existe k ∈ N tal que N^K = 0 e N^(K - 1) != 0 .

Tá fácil agora hein! O jeito mais fácil de resolver isso é .... testando hehe.

Se nós temos a matriz [0 1 0 0 0 1 0 0 0] que não tem todos os termos zerados, podemos dizer que ela é N^(K - 1) != 0 , portanto, para descobrirmos a matriz N^K , basta somar 1 expoente, ou seja, elevar a matriz ao quadrado, assim:

[0 1 0 0 0 1 0 0 0]^2 = [0 0 1 0 0 0 0 0 0]

E... a matriz ainda não foi zerada né, então a gente continua multiplicando ela pela matriz inicial e bora vê o que dá, né.

[0 0 1 0 0 0 0 0 0] [0 1 0 0 0 1 0 0 0] = [0 0 0 0 0 0 0 0 0]

Passo 2

Resumindo, como as condições N^K = 0 e N^(K - 1) != 0 foram satisfeitas, então, tá provado que matriz é de fato nilpresente!! Mas afinal, quem é k??

Podemos dizer que o k é k=n+1, sendo n a quantidade de vezes que a equação foi elevada ao quadrado, logo: k=2+1=3.

Resposta

K=3