Mostre que:

(d) Se N é nilpotente de ordem k, então (I − N) −1 = I + N + N2 + · · · + Nk−1

Passo 1

Não lembra o que é essa tal de matriz nilpotente?? Sem problemas, a gente que uma matriz quadrada N é nilpotente de ordem k se existe k ∈ N tal que N K = 0 e N K - 1 ≠ 0 .

Se você consegui resolver o item B anterior ( se não conseguiu é só acompanhar a resolução marota do Responde Aí 😉) essa tá bem simples. A gente já sabe que D é o operador de derivação do polinômio de grau n, ah mas o que isso quer dizer?? Significa que o grau P n = N K - 1 , ou seja, n = K - 1   , portanto k pode ser obtido pela relação k = n + 1 .

Resposta

k = n + 1