Mostre que os pontos , , e são vértices de um quadrado.
Passo 1
Olááá, tudo bem??
Nessa questão vamos trabalhar com sistemas de coordenadas, retas e planos e antes de pôr as contas na ponta do lápis, vamos fazer uma rápida revisão sobre o assunto.
Um sistema de coordenadas é uma correspondência entre pares ordenados , que representam um ponto ou um intervalo, e pontos de um plano como mostra a figura abaixo que contém alguns exemplos.

Para encontrar o ponto médio de um segmento , utiliza-se a fórmula do ponto médio
Passo 2
Agora que compreendemos as propriedades no Passo 1, vamos começar a resolução da questão.
Primeiramente, vamos marcar os pontos A, B, C e D no plano coordenado e esboçar o quadrado como mostra a figura abaixo

Para demonstrar que ele é um quadrado vamos utilizar a seguinte propriedade do quadrado: as diagonais de um quadrado se encontram em seus respectivos pontos médios, ou seja, as diagonais se interceptam no ponto médio. Portanto, vamos encontrar os valores dos pontos médios de e .
Passo 3
Para e , vamos substituir os valores na fórmula do ponto médio
Passo 4
Para e vamos substituir os valores na fórmula do ponto médio
Os pontos médios das retas e são iguais, logo provamos que estes vértices formam um quadrado.
Até a próxima! =]