Mostre que ( a   +   b ) p =   a p +   b p , quaisquer que sejam a   e   b em Z p com p numero primo.

Passo 1

Saudações galera! Tudo bem?

Essa questão é totalmente teórica, pois se trata de uma demonstração.

Tá preparado?

Bora lá então!

Passo 2

Suponha que não, ou seja, suponha que existam números primos a ,   b   e   c   tais que a² + b² = c² . Temos que a ²   =   c ²   -   b ²   =   ( c   -   b ) ( c   +   b ) .     Sabemos que c   -   b   =   1   o u   c   -   b   >   1

já que c   +   b   >   0 e a ²   > 0, então , c   -   b deve ser positivo.

Assim, temos dois casos:

Caso 1 ( c   -   b   =   1 ) : Os únicos valores possíveis para b   e   c são c   =   3   e   b   =   2 para a diferença entre esses números primos ser 1 , o que implica que b   =   2 . Logo, a ²   =   c ²   -   b ²   =   ( 3   -   2 ) ( 3   +   2 )   =   5 , logo a   =   √   5 . Mas isto contradiz a suposição que a seja um número primo.

Passo 3

Caso 2 ( c   -   b   >   1 ) : Devemos ter que ambos ( c   -   b )   >   1   e   ( c   +   b )   >   1 . Como a é primo, os únicos fatores positivos de a 2 são 1 , a   e   a ² . Como ambos ( c   -   b ) e ( c   +   b ) são maiores que 1 , a única possibilidade é que ambos sejam iguais a a .

Mas isto implica que c   -   b   =   c   +   b , - b   =   b e assim b   =   0 . Isto contradiz a suposição que b seja um número primo. Nos dois casos a contradição é falsa e, assim, a suposição é falsa e a afirmação original é verdadeira.

Assim por extensão podemos admitir essa prova para qualquer expoente primo

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)