Enunciado

Mostre que qualquer reta que passa pelo centro da hipersfera x 2 + y 2 + z 2 + w 2 = 1   d e   R 4   a intercepta

Passo 1

Falaaa, blz? Nessa questão vamos começar achando uma reta qualquer que passa pela origem, porém teremos uma sacada importante que é escreve-la na forma paramétrica, usando que existe um vetor diretor ( a , b , c , d ) unitário, ou seja, a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = 1

Passo 2

Portanto, temos que a reta r é do tipo:

r :   x = a t y = b t z = c t w = d t

Passo 3

Agora, se jogarmos essas coordenadas na equação da hiperesfera, teremos:

a 2 t 2 + b 2 t 2 + c 2 t 2 + d 2 t 2 = 1

t 2 a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = 1

t 2 = 1

t = ± 1

Ou seja, sempre terá uma solução com t = ± 1 , nesse caso são os pontos:

t = 1 ,   p o n t o   a , b , c , d

t = - 1 ,   p o n t o   ( - a , - b , - c , - d )

Resposta

Demonstração

Exercícios de Livros Relacionados

Um aluno está descendo de skate uma rampa de 6,0 m de comprimento e in
Uma pessoa cujo peso é 5,20 10 2 N está sendo puxada para cima vertica
Calcule a integral. ∫     x e 2 x 1 + 2 x 2   d x
1. Verifique que a função dada é diferenciável.b) f x , y = x 4 + y 3
Calcule o centroide da área a seguir em termos das variáveis dos raios