Mostre que qualquer que seja o valor de a , o módulo do vetor   ( 1   -   a ,   1 ,   a   -   2 ) é igual à área do paralelogramo definido pelos vetores   u   =   ( 1 ,   1 ,   1 )   e   v   =   ( 2 ,   a ,   1 ) .

Passo 1

Vamos primeiro encontrar o valor do módulo do vetor   ( 1   -   a ,   1 ,   a   -   2 ) :

O módulo do vetor w = ( x , y , z )   é dado por | | w | | = x 2 + y 2 + z 2

Então, para w = ( 1 - a , 1 , a - 2 ) , temos:

| | w | | = ( 1 - a ) 2 + 1 2 + ( a - 2 ) 2

| | w | | = 1 - 2 a + a 2 + 1 + a 2 - 4 a + 4 = 2 a 2 - 6 a + 6

Passo 2

Agora vamos determinar a área do paralelogramo definido pelos vetores   u   =   ( 1 ,   1 ,   1 )   e   v   =   ( 2 ,   a ,   1 ) .

Temos a fórmula para calcular a área de um paralelogramo definido por dois vetores u = ( a , b , c )   e   v = ( x , y , z ) : A = | | u   ×   v | |

Então, teremos que calcular o produto vetorial u   ×   v :

O produto vetorial de u = ( a , b , c )   e   v = ( x , y , z ) é dado por :

Substituindo por   u   =   ( 1 ,   1 ,   1 )   e   v   =   ( 2 ,   a ,   1 ) , temos: u × v = ( ( 1.1 ) - ( 1 . a ) ) i + ( ( 1.2 ) - ( 1.1 ) ) j + ( ( 1 . a ) - ( 1.2 ) ) k = ( 1 - a , 1 ,   a - 2 )

Passo 3

Agora é só calcular o módulo do produto vetorial!

A = | | u × v | | = | | ( 1 - a , 1 , a - 2 ) | | = ( 1 - a ) 2 + 1 2 + ( a - 2 ) 2 = 2 a 2 - 6 a + 6

Mas, isso é exatamente o módulo | | w | | = 1 - 2 a + a 2 + 1 + a 2 - 4 a + 4 = 2 a 2 - 6 a + 6

Então, A = | | w | | .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)