Mostre que

  1. Os gráficos das funções definidas por
  2. f x = b 1 - x 2 a 2   e   f x = - b 1 - x 2 a 2 ,   - a ≤ x ≤ a .

    São semi-elipse;

  3. Se - a < x 0 < a     e     y 0 = f x 0 , a equação da reta que contém ( x 0 , y 0 ) e cuja declividade é f ( x 0 ) é dada por

x x 2 a 2 + y y 0 b 2 = 1

Está reta é chamada tangente à elipse

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

No ponto x 0 , y 0

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nesta questão ele pede para mostrar que,

  1. Os gráficos das funções definidas por
  2. f x = b 1 - x 2 a 2   e   f x = - b 1 - x 2 a 2 ,   - a ≤ x ≤ a .

    São semi-elipse;

  3. Se - a < x 0 < a     e     y 0 = f x 0 , a equação da reta que contém ( x 0 , y 0 ) e cuja declividade é f ( x 0 ) é dada por

x x 2 a 2 + y y 0 b 2 = 1

Está reta é chamada tangente à elipse

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

No ponto x 0 , y 0

Passo 2

Na letra (a) nesta questão sabemos que,

f x = b 1 - x 2 a 2     e     f x = - b 1 - x 2 b 2 - a ≤ x ≤ a

Substituindo x por x   p o r   a   e - a

f x = b 1 - a 2 a 2                                               f x = - b 1 - a 2 a 2

f x = ± b

Sendo considerado f x = y

Passo 3

Já na letra (b) dado que,

- a < x 0 < a     e     y 0 = f ( x 0 )

x x 2 a 2 + y y 0 b 2 = 1

E a reta tangente a elipse,

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

Sendo a equação de declividade F ' ( x 0 ) no ponto ( x 0 , y 0 ) vamos ter que,

y = F ' x 0 x + K

y 0 = F ' x 0 x 0 + K

K = y 0 - F ' x 0 x 0

Logo,

y = F ' x 0 x + y 0 - F ' x 0 x 0

Substituindo o valor de F ' x 0 e simplificando a expressão resultante vamos ter que

y = a x + y 0 - a x 0

Resposta

  1. f x = y
  2. y = a x + y 0 - a x 0