Mostre que R dotado da operação * tal que x * y = x 3 + y 3 3 é um grupo abeliano.

Passo 1

Faaaaalaaa meus abençoados, tudo blz?

Nessa questão ele pede para mostrar que,

R dotado da operação * tal que,

x * y = x 3 + y 3 3 , é um grupo abeliano.

Fica tranquilo que esta questão vai ser de boa.

Passo 2

Sabendo que,

x * y = x 3 + y 3 3 , temos

Por associativa:

x . y . z = x x 3 + y 3 3 = ( x 3 ( y 3 + z 3 ) 3 3  

x 3 y 3 + z 3 3 = ( x 3 + y 3 ) + z 3 3 = x . y . z

Para elemento neutro:

Seja e ∈ R tal que x * e = x     e     e * x = x temos,

x * e = x → x 3 + e 3 3 = x → x 3 + e 3 = x 3 → e = 0

e * x = x → e 3 + x 3 3 = x → e 3 + x 3 = x 3 → e = 0

Logo e = 0 elemento neutro.

Passo 3

Para comutividade:

x * y = x 3 + y 3 3 = y 3 + x 3 3 = y . x

E o elemento inverso fica,

x * x ' = e x ' = - x 3 3 = - x

x 3 + x ' 3 3 = 0

x 3 + x ' 3 = 0

x ' 3 = - x 3

Com isso < R , * > é um grupo.

Viu bem tranquila, espero ter ajudado até a próxima meus amigos.

Resposta

< R , * > é um grupo.