Mostre que as raízes n-ésimas de um número z são da forma

z 1   w k ,   k = 0,1 , . . , n - 1 ,

Em que z 1 é uma n-ésima de z , e

w = cos ⁡ 2 π n + i sin ⁡ 2 π n

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nesta questão ele pede para mostrar que as raízes n-ésimas de um número z são:

z 1   w k ,   k = 0,1 , . . , n - 1 ,

Sendo z 1

w = cos ⁡ 2 π n + i sin ⁡ 2 π n

Passo 2

Tendo k = 0,1 , . . , n - 1 como fator crescente até n - 1 um número par

Sendo 2 k π

Utilizando a formula de w = cos ⁡ 2 π n + i sin ⁡ 2 π n

z   n   cos ⁡ θ + 2 k π n + i sin ⁡ θ + 2 k π n

z   n   cos ⁡ θ n + i sin ⁡ θ n   cos ⁡ 2 k π n + i sin ⁡ 2 k π n k

Resposta

z   n   cos ⁡ θ n + i sin ⁡ θ n   cos ⁡ 2 k π n + i sin ⁡ 2 k π n k