Mostre que a relação R = {(a + bi, c + di) | b = d} é uma relação de equivalência sobre C e descreva o conjunto-quociente C /R.

Passo 1

Fala minha galera, bora fazer mais um exercício maravilhoso da matemática discreta!

  1. Para que uma relação seja de equivalência, ela deve ser ao mesmo tempo reflexiva, simétrica e transitiva. Visto isso, vamos provar cada uma das propriedades listadas!
  2. Tomando a   +   b i ,   c   +   d i ∈ C   , a relação a seguir é válida pois b = d :

    a   +   b i = a + b i

    Então a relação é reflexiva.

    Passo 2

    Dado a + b i   e   c + d i ∈ C com ( a + b i ) R ( c + d i ) , então:

    a + b i = c + d i ,   p o i s   b = d

    Subtraindo ( a + b i ) de ambos os lados:

    a + b i - a + b i = c + d i - a + b i

    0 = c + d i + ( - a - b i )

    Subtraindo ( c + d i ) de ambos os lados:

    0 = c + d i + ( - a - b i )

    - c + d i = c + d i + - a - b i - c + d i

    - c + d i = - a + b i

    Multiplicando ambos os lados por -1:

    - c + d i = - a + b i                     × - 1

    ⇒ c + d i = a + b i

    Dessa forma, implica em c + d i R ( a + b i ) e assim está provada a simetria.

    Passo 3

    E a transitividade é provada tomando a + b i , c + d i , ( e + h i ) ∈ C com ( a + b i ) R ( c + d i ) e ( c + d i ) R ( e + h i ) , pois b = d e d = h então:

    a + b i = c + d i   e   c + d i = e + h i

    ⇒ a + b i = e + h i

    E assim, está provado que é transitiva concluindo que a relação é de equivalência.

    Passo 4

  3. O conjunto-quociente é formado por todos os vetores na origem (0,0), pois como ele pertence somente a C , não existe no plano real, ou melhor, só existe na origem.

Resposta

  1. Demonstração
  2. C R = ( 0,0 )