Mostre que a relação R = {(a + bi, c + di) | b = d} é uma relação de equivalência sobre e descreva o conjunto-quociente /R.
Passo 1
Fala minha galera, bora fazer mais um exercício maravilhoso da matemática discreta!
- Para que uma relação seja de equivalência, ela deve ser ao mesmo tempo reflexiva, simétrica e transitiva. Visto isso, vamos provar cada uma das propriedades listadas!
- O conjunto-quociente é formado por todos os vetores na origem (0,0), pois como ele pertence somente a não existe no plano real, ou melhor, só existe na origem.
Tomando , a relação a seguir é válida pois :
Então a relação é reflexiva.
Passo 2
Dado com , então:
Subtraindo de ambos os lados:
Subtraindo de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Dessa forma, implica em e assim está provada a simetria.
Passo 3
E a transitividade é provada tomando com e , pois b = d e d = h então:
E assim, está provado que é transitiva concluindo que a relação é de equivalência.
Passo 4
Resposta
- Demonstração